ЕГЭ по математике (профильный уровень): задание 16
В этом материале представлен подробный разбор и решение задания 16 по математике (профильный уровень) для подготовки к ЕГЭ 2018 года. Наш эксперт — учитель математики Алексей Владимирович Доронин — рассказывает об алгоритмах выполнения задания и делится секретами успешной подготовки к экзамену.Зарегистрированным пользователям материал доступен для скачивания.
Задание 16
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках С и M.
а) Докажите, что угол BAM равен углу CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если:
Решение:
а) Заметим, что трапеция вписана в окружность, следовательно, является равнобедренной. Так как угол CAD — вписанный, а угол BAM — угол между касательной и хордой, то легко заметить, что они измеряются половиной дуги AM, следовательно, равны между собой, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что:
Откуда:
Тогда:
Так как треугольники AOD и COB подобны, то:
Значит: