ЕГЭ-2018 по математике, базовый уровень: задание 19
Вашему вниманию мы предлагаем разбор 19 задания ЕГЭ 2018 года по математике. Статья содержит подробный анализ задания, алгоритм решения и рекомендации актуальных пособий для подготовки к ЕГЭ, а также подборку материалов по математике, опубликованных ранее.Задание 19
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение
А) Пусть среди написанных чисел
x – положительных
y – отрицательных
z – нулей
| Среднее арифметическое чисел = | сумма чисел |
| количество чисел |
Тогда имеем, что
- сумма положительных чисел равна 4x
- сумма отрицательных чисел равна –8y
- сумма всех чисел ряда 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)
4(x – 2y + 0z) = –3(x + y + z)
Т.к. левая часть равенства кратна 4, то и правая часть равенства должна быть кратна 4, значит
x + y + z (количество чисел) кратно 4.
40 < x + y + z < 48,
x + y + z = 44
Значит на доске написано 44 числа.
Б) Рассмотрим равенство 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)
4x – 8y = – 3x – 3y – 3z
4x + 3x + 3z = 8y – 3y
7x + 3z = 5y
Отсюда получаем, т.к. z ≥ 0 (количество нулей в ряду)
7x < 5y
x < y
Значит положительных чисел меньше, чем отрицательных.
В) Т.к. x + y + z = 44,подставим это значение в равенство 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z),
получим
4x – 8y = (–3 · 44)/4
x – 2y = –33
x = 2y – 33
Учитывая, что x + y + z = 44, имеем x + y ≤ 44, подставим x = 2y – 33 в данное неравенство
2y – 33 +y ≤ 44
3y ≤ 77
| y ≤ 25 | 2 |
| 3 |
y ≤ 25, учитывая, что x = 2y – 33 получаем x ≤ 17.
Тогда положительных чисел не больше 17.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.