Умножение многочлена на многочлен
Что такое многочлен?
Многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее сумму нескольких одночленов. В свою очередь, одночлены, составляющие многочлен, называются членами многочлена.
Примеры многочленов: a – 3b2 + c; 2x + 6y; 6 – 3ac
Любой многочлен состоит из нескольких одночленов.
Так, например, многочлен 2a2b + 4ac – 6xy + 8 состоит из следующих одночленов:
- 2a2b — первый одночлен;
- 4ac — второй одночлен;
- 6xy — третий одночлен;
- 8 — четвертый одночлен.
По правилу знаков любой многочлен можно представить как сумму одночленов:
2a2b + 4ac – 6xy + 8 = 2a2b + 4ac + (-6xy) + 8
Любой знак, будь то минус или плюс, стоящий слева от одночлена, относится к его числовому коэффициенту. Соответственно, минус относится к коэффициенту 6 (то есть -6).
Как умножить многочлен на многочлен?
Для операции умножения многочлена на многочлен необходимо:
- каждый одночлен первого многочлена умножить на каждый одночлен второго многочлена;
- сложить полученные произведения.
Рассмотрим правило на конкретном примере.
Следует произвести умножение многочленов: (6y – 2b) * (4 – 3y).
Для этого последовательно умножим первый одночлен 6y, находящийся в первой скобке, на многочлены во второй скобке. После этого сделаем то же самое и со вторым одночленом -2b из первой скобки. При раскрытии скобок и решении примера важно помнить и соблюдать правило знаков:
(6y – 2b) * (4 – 3y) = 6y * 4 + 6y * (-3y) – 2b * 4 + (-2b) * (-3y) = 24y – 18y1+1 – 8b + 6by = 24y – 18y2 – 8b + 6by
Результатом умножения многочлена на многочлен так же всегда будет многочлен.
Примеры перемножения многочленов:
- (x – y) (-x – 2) = x · (-x) – 2x + xy + 2y = −x2 – 2x + xy + 2y
- (x2 + xy + y2)(x − y) = x2x − x2 · y + xy · x − xy · y + y2 · x − y2 · y = x2 + 1− x2y + x1 + 1y − xy1 + 1 + y2x − y2 + 1= x3 − x2y + x2y − xy2 + xy2 − y3 = x3 − y3
Если требуется перемножить более двух многочленов? Какие правила следует помнить при выполнении этой операции?
Умножение более двух многочленов
Для операции перемножения более двух многочленов необходимо:
- перемножить первые два многочлена между собой, записать получившийся результат в скобки;
- умножить полученный новый многочлен на следующий многочлен;
- выполнять предыдущие действия последовательно согласно количеству многочленов.
Рассмотрим правило на конкретном примере.
Следует произвести умножение трех многочленов:
(a – 2) (3a + 1) (4a – 3)
- Умножаем первый многочлен на второй, полученный результат записываем в скобки:
(a – 2) (3a + 1) (4a – 3) = (a · 3a + a · 1 – 2 · 3a – 2 · 1) ( 4a − 3) =
= (3a1+1 + a – 6a – 2) (4a – 3) = (3a2 – 5a – 2) (4a – 3)
- Перемножаем полученный многочлен с третьим многочленом. В конце операции приводим подобные одночлены.
(3a2 – 5a – 2) (4a – 3) = 3a2 · 4a – 3a2 · 3 – 5a · 4a + 5a · 3 – 2 · 4a + 2 · 3 =
= 12a2+1 – 9a2 – 20a2 + 15a – 8a + 6 =
= 12a3 – 29a2 + 7a + 6
Подробнее с этой темой вы сможете ознакомиться в учебнике Алгебра. 7 класс.
#ADVERTISING_INSERT#