Какие задачи по теории вероятностей ЕГЭ и конкурсные испытания по математике разбирались на «Летней школе для учителей»
Теория вероятностей — относительно новое явление для школьников. Сейчас задачи, предполагающие работу с экспериментом и неизвестным исходом, часто встречаются в ЕГЭ и в олимпиадных заданиях. Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ Татьяна Захарова рассказала в «Летней школе учителей» главное, что нужно знать о теории вероятностей для сдачи ЕГЭ и представила разбор типовых задач базового уровня сложности.Основные понятия
ω – элементарное событие, исход случайного эксперимента.
Ω = { ω } – множество элементарных событий, достоверное событие. То есть то, что обязательно произойдет в ходе эксперимента. Например, подбрасывая игральный кубик, мы достоверно знаем, что выпадет одна из его сторон. Элементарным событием в данном случае является исход – то, какая сторона «выпала». Аналогичный пример: подбрасывание монетки.
Ø – невозможное событие, пустое множество.
А ⋂ В – пересечение событий.
А ∪ В – совершение одного события или одновременно нескольких.
А \ В – разность, которая заключается в том, что произойдет А, но не произойдет В.
Ā (встречается также символ Аᶜ) – отрицание, А не произойдет.
А Δ В – симметрическая разность. (А \ В) ∪ (В \ А) означает, что произойдет А, но не произойдет В, либо произойдет В, но не произойдет А.
Р (Ω) = 1 – условие нормировки (то есть вероятность задается единицей).
ωί – несовместные элементарные события (их принято считать равнозначными).
Типы задач
1. Классическая модель.
2. Геометрическая модель (вероятность ассоциируем с длинной, площадью, иногда объемом).
3. Дополнительное событие (трудно посчитать вероятность самого события, но легко –дополнительного, поскольку оно содержит маленькое количество исходов; после вычислений из нормировки-единицы вычитается вероятность дополнительного события).
4. Вероятность объединения двух событий и более.
5. Условная вероятность с понятием независимости событий.
6. Формула полной вероятности (известный пример: на столе лежат пистолеты, одни пристрелянные, другие нет; берется случайный пистолет и из него производится выстрел – вычисляется вероятность попадания в цель).
7. Формулы Байеса (через эксперимент производится поиск: какая гипотеза с какой вероятностью осуществлялась).
8. Схема Бернулли.
Рассмотрим некоторые из данных типов задач – те, которые чаще всего встречаются на ЕГЭ.
Классическая модель
В классической модели делаются следующие предположения:
Модель приемлема, когда что-то делается наугад, и при этом сохраняется симметрия (опять же, вспоминаем подбрасывание игральной кости). Вероятность события А – это число элементов Ω, которые являются благоприятными. Для получения результата делим А на общее количество событий.
,где n – число возможных исходов, которыми может закончиться эксперимент, ω – благоприятное элементарное событие для А. Например, при подбрасывании игральной кости выпала четверка: событие осуществилось, результат больше тройки. Для решения задач с классической моделью используются модели комбинаторики и понятия «перестановки», «размещение», «сочетание».
Пример
В личном первенстве соревнуются спортсмены из России и некоторых зарубежных стран. Всего 300 спортсменов. Из зарубежных стран участвуют 240 спортсменов. Какова вероятность события А?
А= {первым выступает спортсмен из России}.
Разбор
Проведен эксперимент: каждый из 300 спортсменов вытащил свой жребий.
ωί – ί-место досталось ωί –спортсмену
Количество перестановок: 300 факториал. На первое место может попасть любой из 300, на второе – любой из 299 и т.д. |Ω| = 300! Пусть событие А осуществилось. На первое место мы можем поставить любого из 60 россиян.
|A| = 60 х 299!
Число благоприятных исходов делим на общее число исходов.
Но что если речь идет не о первом выступлении, а, например, о 200-м (К)?
Задача сразу кажется сложнее. Но все не так страшно. По-прежнему |Ω| = 300! и благоприятных исходов 60. То есть результат тот же, все события равновероятны.
Геометрическая модель
Геометрическая модель используется в симметричных моделях, при этом берутся непрерывные величины и число исходов бесконечное.
Ω – несчетное множество элементарных событий.
А ⊂ Ω
R1 – длинна, R2 – площадь, R3 – объем.
Есть пространство всевозможных событий. В нем рисуется геометрическое место точек, которые являются благоприятными для события А.
Пример 1
Дан отрезок [АВ] длины L. Наугад из отрезка [АВ] вбирается точка М. Какова вероятность события А?
А= {точка М левее середины отрезка, т.е. точки S}
Разбор
ω – координата точки М
0 ≤ ω ≤ L
Ω = { ωί 0 ≤ ω ≤ L}
|Ω| = L – 0 = L
Пусть осуществилось событие А.
Пример 2
Двое друзей договорились встретиться в интервале между 10 и 11 часами на автобусной остановке и ждать друг друга не более 5 минут. Какова вероятность события А?
А= {встреча произойдет}
Разбор
t1 – момент прихода времени первого друга
t2 – момент прихода времени второго друга
ω = (t1, t2)
Ω = [0,1] х [0,1] (представляем в плоскости координат в виде квадрата)
S (Ω) = 1x1 = 1
Вероятность события А равна площади события А.
Р(А) = S(A)
Встреча произойдет, если разность между приходом t1 и t2 не будет превышать 5 минут.
A = {CDKLBO}
Применяем комбинированный метод и переходим к дополнительному событию: считаем площадь двух получившихся треугольников и вычитаем из единицы.
Вычисление вероятности объединения событий
Формула из свойств вероятности: P(А ∪ В) = P(А) + Р(В) - А ⋂ В
Разложим А и В на непересекающиеся множества.
А ∪ В = (А\В) ∪ (А ⋂ В) ∪(В\А)
Вероятность объединения непересекающихся событий равна сумме вероятности каждого из событий.
Р(А ∪ В) = Р(А\В) + Р(А ⋂ В) + Р(В\А)
Рассмотрим вероятность события Р(В\А)
В\А = В \ (А ⋂ В)
А в пересечении с В – это подмножества В.
В = (В \ (А ⋂ В)) ∪(А ⋂ В)
Применяем правило, что вероятность объединения – есть сумма вероятностей.
Р(В) = Р(В \ (АВ)) + Р(АВ)
Тогда получается, что если события С являются подмножеством (⊂) D, то только в этом случае разность событий есть разность вероятностей.
Р (D\C)= P(D)-P(C)
Хотите оперативно получать информацию от экспертов о трендах в преподавании математики, о подготовке к ЕГЭ? Подпишитесь на нашу рассылку и следите за обсуждениями актуальных тем в прямых эфирах.
#ADVERTISING_INSERT#