Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания
Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).
1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)
Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.
Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pα° и Pβ°, симметричных относительно оси абсцисс.
С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой Pα°:
α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.
В силу симметрии относительно оси абсцисс точка Pβ° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:
β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.
Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.
Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.
Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).
Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Pφ и Pπ–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKPφ катет KPφ равен половине гипотенузы OPφ, значит,
Общий вид углов поворота с конечной точкой Pφ:
где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой Pπ–φ:
где n — любое целое число.
Ответ: где n — любое целое число.
2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)
Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.
Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.
Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках Pα° и Pβ° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол Pα° OP0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)
Ответ: –50° + 180°n, n ∈ Z.
По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,
Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.
α°
|
30°
|
45°
|
60°
|
φ рад
|
|
|
|
tg φ
|
|
1
|
|
ctg φ
|
|
1
|
|
3. Простейшие тригонометрические уравнения
Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.
tg φ = α, φ = arctg α + πn, n ∊ Z,
т.е. arctg α — угол из промежутка тангенс которого равен α, tg (arctg α) = α. |
|
ctg φ = α, φ = arcctg α + πn, n ∊ Z, 0 < arcctg α < π, т.е. arcctg α — угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен α, ctg (arcctg α) = α. |
При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.
4. Формулы приведения
Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ. Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:
1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;
2) название меняют только функции углов и
α
|
φ + 2πn
|
– φ
|
π – φ
|
π + φ
|
sin α
|
sin φ
|
– sin φ
|
sin φ
|
– sin φ
|
cos α
|
cos φ
|
cos φ
|
– cos φ
|
– cos φ
|
tg α
|
tg φ
|
– tg φ
|
– tg φ
|
tg φ
|
ctg α
|
ctg φ
|
– ctg φ
|
– ctg φ
|
ctg φ
|
α
|
|
|
|
|
sin α
|
cos φ
|
cos φ
|
– cos φ
|
– cos φ
|
cos α
|
sin φ
|
– sin φ
|
– sin φ
|
sin φ
|
tg α
|
ctg φ
|
– ctg φ
|
ctg φ
|
– ctg φ
|
ctg α
|
tg φ
|
— tg φ
|
tg φ
|
– tg φ
|
5. Свойства и график функции y = sin x
Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.
6. Свойства и график функции y = cos x
Задачу построения графика функции y = cos x можно свести к построению графика функции y = sin x. Действительно, поскольку график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на
7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x
Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида где n ∈ Z. Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке
В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой уходя вместе с ней неограниченно вверх.
8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
Равенства и выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.
tg φ · ctg φ = 1
Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.
Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x2 + y2 = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.
Основное тригонометрическое тождество
cos2 φ + sin2 φ = 1
9. Синус и косинус суммы и разности двух углов
Формула косинуса суммы
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Формула косинуса разности
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Формула синуса разности
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Формула синуса суммы
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов
Формула тангенса суммы
Формула тангенса разности
11. Тригонометрические функции двойного угла
Формула тангенса двойного угла
cos2α = 1 – 2sin2α cos2α = 2cos2α – 1
Пример задания. Решить уравнение
Решение.
Понизим степень еще раз:
Ответ:
12. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Обратное преобразование
Основные формулы
Переход от суммы к произведению
Переход от произведения к сумме
13. Решение тригонометрических уравнений
В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.
Уравнения, сводящиеся к квадратам
Пример задания. Решить уравнение 2 cos2x + 3 sinx = 0
Решение. С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx:
2cos2x + 3sinx = 0, 2(1 – sin2x) + 3sinx = 0,
2 – 2sin2x + 3sinx = 0, 2sin2x – 3sinx – 2 = 0
Введем новую переменную y = sin x, тогда уравнение примет вид: 2y2 – 3y – 2 = 0.
Корни этого уравнения y1 = 2, y2 = –0,5.
Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:
1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x;
2) sin x = –0,5,
Ответ:
Однородные тригонометрические уравнения
Пример задания. Решить уравнение 2sin2x – 3sinxcosx – 5cos2x = 0.
Решение. Рассмотрим два случая:
1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.
Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin2x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.
Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos2x и получить 2tg2x – 3tgx – 5 = 0. Вводя новую переменную y = tg x, получаем квадратное уравнение 2y2 – 3y — 5 = 0.
Корни этого уравнения y1 = –1, y2 = 2,5.
Возвращаемся к переменной x.
tg x = 2,5,
x = arctg 2,5 + πn, n ∈ Z.
Ответ:
Уравнение, левая часть которого — многочлен, каждый член которого имеет вторую степень, а правая — нуль, называют однородным уравнением второй степени относительно переменных u и v.
Обозначив в исходном уравнении sin x буквой u, а cos x буквой v, получим уравнение вида au2 + buv + cv2 = 0.
Делением на v2 такое уравнение сводится к квадратному относительно
Напоминаем, что апробировать учебник «Алгебра и начало математического анализа. 10 класс», как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением «5 учеников бесплатно».
#ADVERTISING_INSERT#