ЕГЭ-2019 по математике. Типичные ошибки
Алексей Доронин, учитель высшей категории, победитель и лауреат профессиональных конкурсов, разобрал несколько типичных заданий единого государственного экзамена и подсказал, где в решениях ученики чаще всего сталкиваются с трудностями.
Задание 13
а) Решите уравнение 1/2 sin sin 2x – 1/√3 cos2 (π/2 + x) = 0.
б) Укажите корни на промежутке [-5π/2; -π].
Решение:
Нам дано прозрачное тригонометрическое уравнение.
sin sin x cos cos x − 1/√3 sin2 x = 0
sin sin xx − 1/√3 sin x) = 0
sin sin x = 0 или tg x = √3
Получаются два простейших тригонометрических уравнения.
Обозначим числовые окружности. Отметим на них точки, соответствующие решениям. Получаем решение пункта а).
Распространенная ошибка: в пункте а) делать лишние записи, ориентируясь на пункт б). Чтобы получить первый балл за это задание, нужно просто записать серию решений.
Перейдем к пункту б) и вспомним метод «Улитки». Ребята используют его неуверенно: стараются избегать, прибегают к неравенствам и, как следствие, делают ошибки. Данный метод подробно, понятным для школьников языком описан в УМК Муравиных. (Если вы пользуетесь другой линией, то можете ознакомиться с электронными версиями учебников на платформе LECTA, воспользовавшись промокодом 5books.)
Рисуем оборот на 360° без замыкания и отмечаем наши точки. Далее рисуем указанный промежуток. Штриховкой отмечаем все те значения, которые указаны на данном отрезке. У нас получается подобие вида винтовой лестницы сверху. Чтобы получить значение, двигаемся по обратному направлению спирали.
π/3 – 2π = -5π/3
0 – 2π = -2π
π – 2π = -π
Распространенная ошибка: в пункте б) указывать решение недостаточно развернуто.
Пособие предназначено для школьников 5–11 классов и абитуриентов.
Задание 15
Решите неравенство
(13 – 5 ∙ 3x)/(9x – 12 ∙ 3x + 27) ≥ 0,5
Решение:
В условии дано показательное сложное неравенство. (При подготовке, на первых пробных работах имеет смысл приводить задания, в которых красной нитью проходит метод интервалов.)
Для начала заменим 3х на t.
3x = t;
(13 – 5t)/(t2 – 12t + 27) – 1/2 ≥ 0
С помощью этой замены мы получили рациональное неравенство.
(26 – 10t – t2 + 12t – 27)/2(t – 3)(t – 9) ≥ 0
(-t2 + 2t – 1)/2(t – 3)(t – 9) ≥ 0
Мы имеем дробно-рациональное неравенство.
(t2 – 2t + 1)/(t – 3)(t – 9) ≤ 0
(t – 1)2/(t – 3)(t – 9) ≤ 0
t = 1 или 3 < t < 9
3x = 1 или 31 < 3x < 32
x = 0 или 1 < x < 2
Ответ: (1; 2); 0.
Распространенные ошибки: забыт ноль, вместо круглой скобки поставить квадратные.
Задание 16
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезков соответственно.
а) Докажите, что M, N, P, Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если DP и PC перпендикулярны, AB = 26, BC = 4,5, CD = 25, AD = 21,5.
Решение:
Нужно нарисовать вытянутую трапецию, чтобы отразить все условия.
Докажем, что окружность можно также описать вокруг четырехугольника MPQN. Пункт а) достаточно простой. Обозначим угол α. Поскольку вокруг четырехугольника PBCQ можно описать окружность, ∠ PQC = 180° – α. Следовательно, ∠ PQN = α. Поскольку MN – средняя линия, четырехугольник MBCN – тоже трапеция. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°, значит, ∠ BMN = 180° – α. В четырехугольнике MPQN сумма противоположных углов получается 180°. Следовательно, вокруг четырехугольника MPQN можно описать окружность.
Переходим к пункту б). Заметим, что DP и PC перпендикулярны.
На первый взгляд отрезок QN никак не соотносится с общей картиной.
Соединим дополнительным построением B и Q, A и Q. Найдем угол BQA. Для этого возьмем угол PQB и за счет окружности по хорде BP переместим его в ∠ BCP. Далее возьмем ∠ PQA и перенесем его в ∠ PDA. Почему мы так сделали? Пункт а), казалось бы, ничего не дал, но на самом деле он показал, что мы можем описать окружность вокруг четырехугольника APQD (∠ PAD = 180° – α). Следовательно, ∠ PQA = ∠ PDA.
По условию, ∠ CPD = 90°. ∠ C + ∠ D = 180°. ∠ PCD и ∠ PDC – острые углы прямоугольного треугольника, их сумма 90°. Поэтому ∠ BCP + ∠ PDA = 90°. Следовательно, ∠ BQP = 90°.
Поскольку точка М – середина AB, проведем QM (медиану к гипотенузе прямоугольного треугольника). Поскольку AB = 26, QM = 13. MN – средняя линия. Треугольник QMN – равнобедренный, MN = 13.
Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, нужно знать ∠ MNQ (обозначим его τ). Величина угла D тоже τ. Нужно найти cos, sin, tg величины этого угла. Как найти острый угол при основании трапеции? Поскольку известны все стороны, построим параллелограмм и вычтем из стороны AD сторону BC. 21,5 – 4,5 = 17. У нас получается треугольник со сторонами 25, 26 и 17. Возьмем теорему косинусов:
262 = 252 + 172 – 2 ∙ 25 ∙ 17 ∙ cos τ
cos τ = 7/25
Рассмотрим треугольник MQN, две стороны которого равны 13 и ∠ MQN = τ. Как найти основание этого равнобедренного треугольника?
QN = 2 ∙ 13 ∙ 7/25 = 182/25
Задание 17
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 | Июль 2020 |
Долг (млн рублей) | S | 0,7S | 0,4S | 0,2S | 0 |
Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет больше 10 млн рублей.
Решение:
(Подобные задачи могут быть с равными платежами, с дифференцированными, с комбинированными. Есть аналогичные задачи с другим набором, в которых речь идет о работе, об оптимизации.)
S – сумма кредита.
1-я выплата: 1,2 ∙ S – 0,7S = 0,5S
2-я выплата: 1,2 ∙ S ∙ 0,7 – 0,4S = 0,44S
3-я выплата: 1,2 ∙ 0,4S – 0,2S = 0,28S
4-я выплата: 0,2 ∙ S ∙ 1,2 = 0,24S
0,5S + 0,44S + 0,28S + 0,24S > 10 (распространенная ошибка: поставить знак ≥)
S – наименьшее целое.
Когда все переменные описаны верно, ученик уже получает 1 балл. Далее следует работа с моделью. Должно быть несколько шагов: нужно найти сумму слагаемых и попытаться решить неравенство. В таких задачах проще действовать подбором, а потом проверить умножением, чем выполнять деление столбиком, поскольку легко допустить арифметическую ошибку.
Ответ: 7.
#ADVERTISING_INSERT#