ЕГЭ-2019 по математике (профильный уровень). Задание 18
Задание
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
- Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.
Решение
Пусть x – ежемесячная выплата с первого по n-й месяц, без учета процентов; K = 600 тыс. руб.; R = 0,03.
Если выплачивать долг без процентов, тогда согласно условиям задачи суммы выплат будут иметь следующий вид: x, x, …, x, 200.
Если же учитывать проценты, то каждый месяц нужны следующие доплаты:
KR, (K – x)R, (K – 2x)R, ..., (K – (n – 1)x)R, 200R.
Всего следует выплатить
x + x + …+ x + 200 + KR + (K – x)R + (K – 2x)R + ...+ (K – (n – 1)x)R + 200R = 852.
Заметим, что nx = 400. Откуда 12n + 612 = 852, 12n = 240, n = 20.
Ответ: 20.
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ |
3 |
Верно построена математическая модель, решение сведено
|
2 |
Верно построена математическая модель, решение сведено |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл |
3 |
Задание
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Пусть а = –2, тогда первое уравнение системы задаёт прямую y = –4x – 4 и система имеет два решения.
При a ≠ –2 первое уравнение задаёт параболу. Второе уравнение - пару прямых y = x и y = –x.
Прямая и парабола должны иметь две общие точки. Тогда система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда парабола пересекается с каждой из прямых y = x и y = –x в попарно различных точках.
Количество точек пересечения параболы с прямой y = x равно числу корней квадратного уравнения
(a + 2)x2 + (2a – 1)x + a – 2 = 0.
Значит
(2a – 1)2 – 4a2 + 16 > 0; 4a – 17 < 0,
откуда
Аналогично,
(2a + 1)2 – 4a2 + 16 > 0; 4a + 17 < 0,
откуда
Парабола не должна проходить через точку начало координат, следовательно, нужно исключить случай a = 2.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при –2 < a < 2;
Ответ: –2 < a < 2;
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ |
4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек и / или |
3 |
С помощью верного рассуждения получены промежутки и , возможно, с включением точек и / или ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения |
2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен один из промежутков или , возможно, с включением граничных точек ИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически) |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл |
4 |