Демоверсия ОГЭ-2020 по математике
Демовариант, кодификатор и спецификация ОГЭ 2020 по математике с официального сайта ФИПИ.Скачать демоверсию ОГЭ 2020 года вместе с кодификатором и спецификацией по ссылке ниже:
Источник: сайт ФИПИ
Основные изменения в новой демоверсии
В КИМ включён новый блок практико-ориентированных заданий 1-5.
Расписание ОГЭ по математике в 2020 году
На данный момент известно, что Минпросвещения и Рособрнадзор опубликовали для общественного обсуждения проекты расписания ОГЭ. Предполагаемые даты проведения экзаменов по математике основной волны: 9 июня, резервные дни 24, 25, 30 июня.
Скоро мы поговорим о грядущем ЕГЭ на вебинарах и в эфире нашего канала на YouTube.
Экзаменационная работа (ОГЭ) состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия», входящих в две части: базовый уровень (часть 1), повышенный и высокий уровень (часть 2). Всего в работе 26 заданий, из которых 20 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня. Модуль «Алгебра» содержит 17 заданий: в части 1 – 14 заданий; в части 2 – 3 задания. Модуль «Геометрия» содержит 9 заданий: в части 1 – 6 заданий; в части 2 – 3 задания. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Часть 1
Задание 1
Найдите значение выражения
Решение
Ответ: 0,32.
Задание 2
Решение
Поскольку время составляет 5,62 с., то норматив девочкой на оценку «4» не выполнен, однако, данное время не превышает 5,9 с. – норматива на оценку «3». Поэтому ее отметка «3».
Ответ: 3.
Задание 3
Решение
Первое число больше 11, поэтому не может быть числом А. Заметим, что точка А находится на второй половине отрезка, а значит заведомо больше 5 (из соображений масштаба координатной прямой). Стало быть это не число 3) и не число 4). Отмечаем, что число удовлетворяет неравенству:
Ответ: 2.
Задание 4
Найдите значение выражения
Решение
По свойству арифметического квадратного корня (при a ≥ 0, b ≥ 0), имеем:
Ответ: 165.
Задание 5
Решение
Для ответа на поставленный вопрос достаточно определить цену деления по горизонтальной и вертикально осям. По горизонтальной оси одна засечка – 0,5 км., а по вертикальной – 20 мм. р.с. Поэтому давление 620 мм. р.с. достигается на высоте 1,5 км.
Ответ: 1,5.
Задание 6
Решите уравнение x2 + x – 12 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Решение
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения
Откуда x1 = –4, x2 = 3.
Ответ: 3.
Задание 7
Стоимость проезда в электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 4 взрослых и 12 школьников?
Решение
Билет школьника будет стоить 0,5 · 198 = 99 рублей. Значит, проезд для 4 взрослых и 12 школьников будет стоить
4 · 198 + 12 · 99 = 792 + 1188 = 1980.
Ответ: 1980.
Задание 8
Решение
Высказывания 1) и 2) можно считать верными, так как области, соответствующие белкам и углеводам занимают примерно 36% и 24% от общей части круговой диаграммы. В то же время из диаграммы видно, что жиры занимают меньше 16% всей диаграммы, а поэтому высказывание 3) неверно, как и неверно, высказывание 4), поскольку жиры, белки и углеводы составляют в своей совокупности бóльшую часть диаграммы.
Ответ: 12 или 21.
Задание 9
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
Решение
Вероятность события в классическом определении есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
В данном случае количество всех возможных исходов равно 4 + 8 + 3 = 15. Число же благоприятных исходов равно 3. Поэтому
Ответ: 0,2.
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Решение
Первый график, очевидно, соответствует параболе, общее уравнение которой имеет вид:
y = ax2 + bx + c.
Стало быть, это формула 1). Второй график соответствует гиперболе, общее уравнение которой имеет вид:
Следовательно, это формула 3). Остается третий график, являющийся графиком прямой пропорциональности:
y = kx.
Это формула 2).
Ответ: 132.
Задание 11
В последовательности чисел первое число равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найдите пятнадцатое число.
Решение
В задаче идет речь об арифметической прогрессии с первым членом a1 = 6 и разностью d = 4. Формула общего члена
an = a1 + d · (n – 1) = 6 + 4 · 14 = 62.
Ответ: 62.
Задание 12
Решение
Вместо того чтобы сразу подставить числа в данное выражение, сначала упростим его, записав в виде рациональной дроби:
Ответ: 1,25.
Задание 13
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует –25 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим значение –25 в формулу
tF = 1,8 · (–25) + 32 = –13
Ответ: –13.
Задание 14
Укажите решение системы неравенств
Решение
Решая данную систему неравенств, получим:
Следовательно, решением системы неравенств является отрезок [–4; –2,6], что соответствует рисунку 2).
Ответ: 2.
Задание 15
Решение
Фигура, изображенная на рисунке, является прямоугольной трапецией. Средняя опора есть не что иное, как средняя линия трапеции, длина которой вычисляется по формуле
где a, b – длины оснований. Составим уравнение:
b = 2,5.
Ответ: 2,5.
Задание 16
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.
Решение
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому угол ВАС равен углу ВСА. Но угол ВСА – смежный с углом в 123°. Следовательно
∠ВАС = ∠ВСА = 180° – 123° = 57°.
Ответ: 57°.
Задание 17
Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.
Решение
Рассмотрим треугольник AOB (см. рисунок).
Он равнобедренный (АО = ОВ) и ОН в нем высота (ее длина равна по условию 5). Значит, ОН – медиана по свойству равнобедренного треугольника и АН = НВ. Найдем АН из прямоугольного треугольника АНО по теореме Пифагора:
Значит, АВ = 2АН = 24.
Ответ: 24.
Задание 18
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Решение
Нижнее основание трапеции равно 21. Воспользуемся формулой площади трапеции
Ответ: 168.
Задание 19
Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке.
Решение
Выделим прямоугольный треугольник (см. рисунок).
Тангенс есть отношение противолежащего катета к прилежащему, отсюда найдем
Ответ: 2.
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3) В любом параллелограмме есть два равных угла.
Решение
Первое утверждение есть аксиома параллельных прямых. Второе утверждение неверно, так как для отрезков с длинами 1, 2, 4 не выполняется неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон меньше длины третьей стороны)
1 + 2 = 3 > 4.
Третье утверждение верно – в параллелограмме противолежащие углы равны.
Ответ: 13 или 31.
Часть 2
Задание 21
Решите уравнение x4 = (4x – 5)2.
Решение
Используя формулу разности квадратов, исходное уравнение приводится к виду:
(x2 – 4x + 5)(x2 + 4x – 5) = 0.
Уравнение x2 – 4x + 5 = 0 не имеет корней (D < 0). Уравнение
x2 + 4x – 5 = 0
имеет корни −5 и 1.
Ответ: −5; 1.
Задание 22
Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Решение
Пусть рыболов отплыл на расстояние, равное s. Время, за которое он проплыл это путь, равно ч. (т.к. против течения скорость лодки равна 4 км/ч). Время, которое он затратил на путь обратно, равно ч. (т.к. по течению скорость лодки равна 8 км/ч). Общее время с учетом стоянки равно 5 ч. Составим и решим уравнение:
s = 8.
Ответ: 8 км.
Задание 23
Решение
Область определения рассматриваемой функции содержит все действительные числа, кроме чисел –2 и 3.
Упростим вид аналитической зависимости, разложив числитель дроби на множители:
Таким образом, графиком данной функции является парабола
y = x2 + x – 6,
с двумя «выколотыми» точками, абсциссы которых равны –2 и 3. Построим данный график. Координаты вершины параболы
(–0,5; –6,25).
Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Координаты «выколотых» точек
(−2; −4) и (3; 6). Поэтому c = –6,25, c = –4 или c = 6.
Ответ: c = –6,25; c = –4; c = 6.
Задание 24
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СK этого треугольника.
Решение
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Поэтому
Ответ: 5.
Задание 25
В параллелограмме ABCD точка Е – середина стороны АВ. Известно, что ЕС = ED. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.
Решение
Рассмотрим треугольники EBC и AED. Они равны по трем сторонам. В самом деле, AE = EB, ED = EC (по условию), AD = BC (противолежащие стороны параллелограмма). Следовательно, ∠A = ∠B, но сумма соседних углов в параллелограмме равна 180°, поэтому ∠A = 90° и ABCD – прямоугольник.
Задание 26
Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение
Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .
Поскольку точка О равноудалена от сторон угла ∠СВА, постольку она лежит на его биссектрисе. В то же время на биссектрисе угла ∠СВА лежит точка Q и при этом в силу свойств равнобедренного треугольника данная биссектриса является и медианой и высотой треугольника ABC. Из этих рассуждений нетрудно вывести, что рассматриваемые окружности касаются в одной точке M, точка касания M окружностей делит AC пополам и OQ перпендикулярна AC.
Проведем лучи AQ и AO. Несложно понять, что AQ и AO — биссектрисы смежных углов, а поэтому, угол OAQ прямой. Из прямоугольного треугольника OAQ получаем:
АМ2 = MQ · MO.
Следовательно,
Ответ: 4,5.