Подготовка к ЕГЭ по математике: примеры решения экономических задач
Заслуженный учитель Российской Федерации, лауреат Гранта Москвы в области наук и технологий Ольга Шалина представляет вашему вниманию решения типичных для ЕГЭ экономических задач.Задача 1
15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34 млн рублей?
Дано:
S — кредит
n = 16 месяцев
r = 2%
2,34 млн рублей — общая сумма выплат
Найти:
S — ?
Решение:
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
St |
||
|
||
... |
... |
... |
- |
- |
По условиям задачи, общая сумма выплат после полного погашения кредита равна 2,34 млн рублей.
S (17t — 15) = 4,68
Подставим в полученное выражение известное значение t.
S (17 • 1,02 — 15) = 4,68
2,34 S = 4,68
S = 2 (млн рублей)
Ответ: 2 млн рублей
Задача 2
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?
Дано:
S = 2,4 млн рублей
n = 24 месяца
r = 3%
Найти:
Общую сумму выплат за первые 12 месяцев.
Решение:
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
St |
||
|
||
... |
... |
... |
|
||
... |
... |
... |
- |
- |
Найдем общую сумму выплат за первые 12 месяцев.
Подставим в полученное выражение значения известных переменных.
Ответ: 1,866 млн рублей
Задача 3
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Дано:
S тыс. рублей: кредит
n = 21 месяц
r = 3%
Общая сумма выплат равна 1604 тыс. руб.
Найти:
S — ?
Решение:
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
S — 0 • 30 |
tS |
1) tS — (S — 1 • 30) |
S — 1 • 30 |
t (S — 1 • 30) |
2) t(S — 1 • 30) — (S — 2 • 30) |
S — 2 • 30 |
t (S — 2 • 30) |
3) t(S — 2 • 30) — (S — 3 • 30) |
S — 3 • 30 |
t (S — 3 • 30) |
4) t(S — 3 • 30) — (S — 4 • 30) |
... |
... |
... |
S — 18 • 30 |
t (S — 18 • 30) |
19) t(S — 18 • 30) — (S — 19 • 30) |
S — 19 • 30 |
t (S — 19 • 30) |
20) t(S — 19 • 30) — (S — 20 • 30) |
S — 20 • 30 |
t (S — 20 • 30) |
21) t(S — 20 • 30) — 0 |
0 |
|
|
По условию задачи известно, что общая сумма выплат равна 1604 тыс. рублей.
1) (St + St — 570t) • 10 — (2S — 630) • 10 + St — 600t = 20St — 5700t — 20S +6300 + St — 600t = 21St — 20S + 6300 — 5700t = 21 • 1,03S — 20S + 6300 — 5700 • 1,03 = 21,63S — 20S +6300 — 6489 = 1,63S — 189
2) Выплаты составили 1604 тыс. рублей:
1,63S — 189 = 1604
1,63S = 1793
S = 1100 тыс. рублей
Ответ: 1100 тыс. рублей.
Задача 4
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1200 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей.
Дано:
S = 1200 тыс. рублей (кредит)
n + 1 месяц — срок кредитования
r%
С 1-го по n-ный месяц долг уменьшается на 80 тыс. рублей.
15-го числа n-го месяца долг составит 400 тыс. рублей.
Общая сумма выплат составляет 1288 тыс. рублей (после полного погашения кредита).
Найти:
r — ?
Решение:
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
S — 0 • 80 |
t • S |
1) tS — (S — 1 • 80) |
S — 1 • 80 |
t (S — 1 • 80) |
2) t(S — 1 • 80) — (S — 2 • 80) |
S — 2 • 80 |
t (S — 2 • 80) |
3) t(S — 2 • 80) — (S — 3 • 80) |
S — 3 • 80 |
t (S — 3 • 80) |
|
... |
... |
... |
S — (n — 1) • 80 |
t (S — (n — 1) • 80) |
n) t(S — (n — 1) • 80) — (S — n • 80) |
S — n • 80 |
t (S — n • 80) |
n + 1) t(S — n • 80) — 0 |
0 |
|
|
1) 15 числа n-го месяца долг составляет 400 тыс. рублей:
S — n • 80 = 400
1200 — n • 80 = 400
n • 80 = 800
n = 10
2) Общая сумма выплат составляет 1288 тыс. рублей.
8800t — 7600 = 1288
8800t = 8888
t = 1,01
r = 1%
Ответ: 1%
Задача 5
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
Дано:
S = 5 млн руб. (кредит)
r = 20%,
Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 7,5 млн. руб.
Найти:
n — ? (число лет)
Решение:
1)
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
St |
||
... |
... |
... |
- |
- |
По формуле суммы арифметической прогрессии получим:
2) По условию задачи известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 7,5 млн рублей, тогда:
0,2n + 2,2 = 3
0,2n = 0,8
n = 4
4 года — на столько лет планируется взять кредит.
Ответ: 4
Задача 6
15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Дано:
S — кредит
n = 9 месяцев
r = r%
Со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга.
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Общая сумма выплат по кредиту на 25% больше суммы, взятой в кредит.
Найти:
r — ?
Решение:
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
St |
||
... |
... |
... |
- |
- |
1) Найдем общую сумму выплат:
2) По условию задачи известно, что общая сумма выплат на 25% больше суммы, взятой в кредит:
S — 100%
(5St — 4S) — 125%
100 (5St — 4S) = 125S
500St — 400S = 125S
3)
r = 5%
Ответ: 5%
Задача 7
15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Дано:
S — кредит
n = 18 месяцев
r = 2%
Долг уменьшается на одну и ту же сумму.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение:
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
St |
||
... |
||
... |
... |
... |
|
||
1) По формуле суммы арифметической прогрессии получим:
2) S — 100%
— столько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования.
Ответ: 119%
Задача 8
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,7 млн рублей.
Дано:
S = 1 млн рублей (кредит)
n = 6 месяцев
Дата |
15.01 |
15.02 |
15.03 |
15.04 |
15.05 |
15.06 |
15.07 |
Долг |
1 |
0,7 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
0 |
Найти:
Наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,7 млн рублей.
Решение:
1)
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
1 |
1t |
1t — 0,7 |
0,7 |
0,7t |
0,7t — 0,6 |
0,6 |
0,6t |
0,6t — 0,4 |
0,4 |
0,4t |
0,4t — 0,2 |
0,2 |
0,2t |
0,2t — 0,1 |
0,1 |
0,1t |
0,1t — 0 |
0 |
- |
- |
Найдем общую сумму выплат:
t (1 + 0,7 + 0,6 + 0,4 + 0,2 + 0,1) — (0,7 + 0,6 + 0,4 + 0,2 + 0,1) = 3t — 2
3t — 2 — общая сумма выплат.
2) По условию задачи известно, что общая сумма выплат будет меньше 1,7 млн рублей:
3t — 2 < 1,7
3t < 3,7
Наибольшее целое число этого неравенства r = 23%
Ответ: 23%
Задача 9
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
- к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Дано:
S = 300 тыс. руб. (кредит)
n = 21 месяц
r = 2%
15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тыс. рублей.
Найти:
Общую сумму выплат.
Решение:
Пусть х тыс. рублей — ежемесячный равный платеж.
Долг |
Долг с % |
Выплаты |
S — 0 • x |
t (S — 0 • x) |
1) t (S — 0 • x) — (S — 1x) |
S — 1 • x |
t (S — 1 • x) |
2) t (S — 1 • x) — (S — 2x) |
S — 2 • x |
t (S — 2 • x) |
3) t (S — 2 • x) — (S — 3x) |
S — 3 • x |
t (S — 3 • x) |
|
... |
... |
... |
18) S — 18x |
t (S — 18 • x) |
19) t (S — 18 • x) — (S — 19x) |
19) S — 19x |
t (S — 19 • x) |
20) t (S — 19 • x) — (S — 20x) |
20) S — 20x |
t (S — 20 • x) |
21) t (S — 20 • x) — 0 |
0 |
|
|
1) По условиям задачи известно, что 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тыс. рублей:
S — 20x = 100
300 — 20x = 100
20x = 200
X = 10 тыс. рублей
2) Найдем общую сумму выплат:
Ответ: 384 тыс. рублей.
#ADVERTISING_INSERT#